Линейная алгебра Примеры

$x ([\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}]) = [\begin{array}{c} 2 a + d \\ - 4 b \end{array}]$

Этап 1

Преобразование определяет отображение из $ℝ^{3}$ в $ℝ^{2}$ . Для доказательства того, что преобразование является линейным, необходимо убедиться в сохранении при преобразовании умножения на константу, сложения и нулевого вектора.

x: $ℝ^{3} \to ℝ^{2}$

Этап 2

Сначала докажем, что преобразование сохраняет это свойство.

$x (x + y) = x (x) + x (y)$

Этап 3

Создадим две матрицы для проверки сохранения свойства аддитивности для $x$ .

$x ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Этап 4

Сложим эти две матрицы.

$x [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Этап 5

Применим данное преобразование к вектору.

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{3} + y_{3} \\ - 4 (x_{2} + y_{2}) \end{array}]$

Этап 6

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перегруппируем $2 (x_{1} + y_{1}) + x_{3} + y_{3}$ .

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} + x_{3} + 2 y_{1} + y_{3} \\ - 4 (x_{2} + y_{2}) \end{array}]$

Этап 6.2

Перегруппируем $- 4 (x_{2} + y_{2})$ .

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} + x_{3} + 2 y_{1} + y_{3} \\ - 4 x_{2} - 4 y_{2} \end{array}]$

Этап 7

Разобьем результат на две матрицы, сгруппировав переменные.

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} + x_{3} \\ - 4 x_{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 y_{1} + y_{3} \\ - 4 y_{2} \end{array}]$

Этап 8

Свойство аддитивности преобразования сохраняется.

$x (x + y) = x (x) + x (y)$

Этап 9

Чтобы преобразование было линейным, оно должно сохранять результат скалярного произведения.

$x (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}])$

Этап 10

Вынесем $p$ из каждого элемента.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $p$ на каждый элемент матрицы.

$x (p x) = x ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p d \end{array}])$

Этап 10.2

Применим данное преобразование к вектору.

$x (p x) = [\begin{array}{c} 2 (p a + p d) \\ - 4 (p b) \end{array}]$

Этап 10.3

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Перегруппируем $2 (p a + p d)$ .

$x (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p + 2 d p \\ - 4 (p b) \end{array}]$

Этап 10.3.2

Перегруппируем $- 4 (p b)$ .

$x (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p + 2 d p \\ - 4 p b \end{array}]$

Этап 10.4

Разложим каждый элемент матрицы на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Разложим элемент $0, 0$ на множители, умножив на $2 a p + 2 d p$ .

$x (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a + 2 d) \\ - 4 p b \end{array}]$

Этап 10.4.2

Разложим элемент $1, 0$ на множители, умножив на $- 4 p b$ .

$x (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a + 2 d) \\ p (- 4 b) \end{array}]$

Этап 11

Второе свойство линейных преобразований сохраняется для этого преобразования.

$x (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}]) = p x (x)$

Этап 12

Чтобы преобразование было линейным, нулевой вектор должен быть сохранен.

$x (0) = 0$

Этап 13

Применим данное преобразование к вектору.

$x (0) = [\begin{array}{c} 2 (0) + 0 \\ - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 14

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Перегруппируем $2 (0) + 0$ .

$x (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 14.2

Перегруппируем $- 4 \cdot 0$ .

$x (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Этап 15

Нулевой вектор сохраняется при этом преобразовании.

$x (0) = 0$

Этап 16

Поскольку все три свойства линейных преобразований не выполняются, это преобразование не является линейным.

Линейное преобразование